DETERMINANTES

Determinantes de orden 2 y 3

Dada una matriz A cuadrada de orden 2, se define el determinante de orden 2, y se representa por |A| o Det(A), al número real que resulta de hacer esta operación:

De forma análoga, dada una matriz B cuadrada de orden 3, se define el determinante de orden 3, al número real que resulta de hacer la siguiente operación, conocida como Regla de Sarrus:

Propiedades de los determinantes

Menor complementario y adjunto de un elemento. Matriz adjunta

Dada una matriz A cuadrada de orden n, se define:

- El menor complementario Mij de un elemento aij cualquiera de la matriz, al determinante de orden n-1 que resulta de suprimir la fila y la columna donde se encuentra dicho elemento:

- El adjunto Adij de un elemento aij cualquiera de la matriz, al número resultante de la siguiente operación: Adij = (-1)i+j.Mij

La matriz adjunta de la matriz A, y se representa por A* o Ad(A), es la matriz que se obtiene de sustituir cada elemento de la matriz A por su adjunto

Determinantes de orden n

Dada una matriz A cuadrada de orden n, el valor del determinante se obtiene eligiendo una fila o columna del determinante y sumando los productos de cada uno de los elementos de la fila o columna elegida por sus respectivos adjuntos:

Si, además, combinamos este método con la quinta propiedad de los determinantes, los cálculos se simplifican mucho, ya que calcularíamos un único determinante:

Rango de una matriz por determinantes

Por definición el rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes. Teniendo en cuenta la segunda propiedad de los determinantes (un determinante es cero si una fila o columna es combinación lineal de las demás), se puede definir el rango de una matriz como el máximo orden de sus menores no nulos. Veamos con un ejemplo de matriz de orden 3 qué significa:

- Buscamos un menor de orden 2 no nulo. Si TODOS los menores de orden 2 que pudiéramos escribir fueran cero, el rango de la matriz sería 1; en caso contrario, el rango es mayor o igual a 2

- Calculamos el determinante de A. Si fuera cero, el rango de la matriz sería 2, ya que es el máximo orden no nulo encontrado; en caso contrario, el rango de la matriz es 3

En nuestro caso, como |A| es distinto de cero, el rango (A) = 3

Matriz inversa por determinantes

Si A es una matriz cuadrada de orden n que tiene inversa (su determinante es distinto de cero), entonces se cumple que:

Ecuaciones matriciales

Una ecuación matricial es una ecuación el la que las incógnitas son matrices. Para resolverlas se procede de la misma forma que con las ecuaciones algebraicas, pero utilizando las operaciones con matrices y teniendo en cuenta sus propiedades, en especial, que el producto de matrices NO ES CONMUTATIVO.

Por ejemplo: Resuelve AX + B = C, siendo A, B, C y X matrices

Empezamos a despejar: AX = C - B

Cuando despejamos la matriz incógnita, hay que tener en cuenta que la división de matrices no está definida, por lo que, multiplicamos a ambos lados de la ecuación por A-1, respectando "el lado" al que multiplicamos, ya que el producto no es conmutativo:

Por último realizamos la operación indicada