NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales

El conjunto de los números racionales, y se representa por la letra Q, está formado por los enteros, las fracciones y los decimales exactos y periódicos.

Primero nos ocuparemos de las fracciones y decimales, ya que los números enteros tienen su propio apartado al formar por sí solos un conjunto numérico, y después de los números racionales como conjunto numérico.

LAS FRACCIONES

Las fracciones. Fracciones equivalentes

Una fracción es un cociente de dos números enteros que representa:

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad. Para saber si dos fracciones son equivalentes los productos cruzados han de ser iguales. Para obtener fracciones equivalentes se puede hacer:

- por amplificación: multiplicando numerador y denominador por un mismo número

- por reducción: dividiendo numerador y denominador por un mismo número. La fracción equivalente obtenida por reducción que ya no se puede simplificar más se llama fracción irreducible.

Reducción de fracciones a común denominador

Reducir fracciones a común denominador consiste en hallar fracciones equivalentes por amplificación de tal forma que todas tengan el mismo denominador. Para reducir fracciones a común denominador hay que hacer lo siguiente:

- el denominador común de todas ellas es el mcm de todos los denominadores

- los numeradores amplificados se obtienen dividiendo el mcm entre cada denominador y se multiplica por el numerador correspondiente.

Comparación y ordenación de fracciones

Para ordenar o comparar fracciones hay que tener en cuenta lo siguiente:

- si tienen el mismo denominador: será mayor aquella que tenga mayor numerador

- si tienen distinto denominador: primero se reducen a común denominador y será mayor aquella que tenga mayor numerador

Operaciones con fracciones

Este cuadro resume las operaciones con fracciones:

Operaciones combinadas de fracciones

Para realizar operaciones combinadas con fracciones hay que tener en cuenta la jerarquía de operaciones, que nos indica el orden en el que tenemos que operar... ¡¡ siempre de izquierda a derecha!!

LOS DECIMALES

Los decimales. Tipos de decimales

Para expresar una fracción como decimal simplemente tenemos que dividir el numerador entre el denominador, pudiéndose obtener tres tipos de decimales:

- decimal exacto: si la parte decimal está formado por un número limitado de cifras decimales. Por ejemplo: 4´67.

- decimal periódico puro: si la parte decimal está formado por un grupo de cifras que se repite indefinidamente. Este grupo de cifras se llama período. Por ejemplo: 4´676767...

- decimal periódico mixto: si la parte decimal está formada por un grupo de cifras que no se repite y un grupo de cifras que se repite indefinidamente. El grupo de cifras que no se repite se llama anteperíodo y el que se repite período. Por ejemplo: 4´6777...

Fracción generatriz

Para expresar un decimal como fracción, llamada fracción generatriz, se procede de distinta forma según el decimal que se trate:

Comparación y ordenación de decimales

Para comparar y ordenar números decimales, hay que comparar las cifras que ocupan la misma posición, empezando siempre por la izquierda.

Operaciones con decimales exactos

Este cuadro resume las operaciones con decimales:

Observa este vídeo donde se explica el procedimiento de la raíz cuadrada de un decimal paso a paso:

Operaciones con decimales periódicos

Los decimales periódicos no se pueden operar como tal, ya que están formados por infinitas cifras decimales. Para expresiones en las que aparezcan decimales periódicos se calcula la fracción generatriz y se aplica todo referido a fracciones.

Operaciones combinadas con decimales

Para hacer operaciones combinadas con decimales, hay que tener en cuenta la jerarquía de operaciones, que nos indica el orden en el que tenemos que operar... ¡¡siempre de izquierda a derecha!!

LOS NÚMEROS RACIONALES

Comparación y ordenación de números racionales

Para comparar y ordenar un conjunto de números racionales, tenemos dos opciones:

- Se expresan todos como fracciones y se aplican los criterios de comparación y ordenación de fracciones

- Se expresan todos como decimales y se aplican los criterios de comparación y ordenación de decimales

Operaciones combinadas con números racionales

Para realizar operaciones combinadas con números racionales en las que aparezcan distintos tipos de números, se expresan todos como fracciones y se aplican las reglas de operaciones de fracciones, teniendo en cuenta la jerarquía de operaciones, que nos indica el orden en el que tenemos que operar... ¡¡siempre de izquierda a derecha!!