MATRICES

Concepto de matriz

Una matriz es un conjunto de números ordenados en m filas y n columnas de forma rectangular:

Los subíndices indican la posición de cada elemento dentro de la matriz: el primero siempre indica la fila y el segundo la columna. Por ejemplo: el elemento a23, indica que es el situado en la segunda fila y tercera columna.

Una matriz que tiene m filas y n columnas se dice que es de orden o dimensión mxn. Por ejemplo: si el orden de una matriz es 2x3, significa que está formada por seis números ordenados en dos filas y tres columnas, como puede ser la siguiente:

Tipos de matrices

Operaciones con matrices

El siguiente cuadro resume las operaciones con matrices:

Matriz traspuesta

Si A es una matriz de orden mxn, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At a la matriz de orden nxm que resulta de intercambiar filas por columnas:

La trasposición de matrices tiene las siguientes propiedades:

Matriz inversa

Si A es una matriz cuadrada de orden n, se llama matriz inversa de A, y se representa por A-1 a una matriz del mismo orden que cumple que:

La matriz inversa no siempre existe pero, en el caso de existir es única y tiene las siguientes propiedades:

Si una matriz tiene inversa se dice que es inversible o regular y si no tiene inversa se llama singular

Rango de una matriz. Método de Gauss

En una matriz cualquiera, una fila o columna puede venir expresada como la suma o resta de otras filas o columnas multiplicadas por un número real: se dice entonces que, dicha fila o columna es una combinación lineal de las otras filas o columnas. Por ejemplo:

Cuando ésto ocurre, es decir, cuando una fila o columna viene expresada como una combinación lineal de otras, se dice que las filas o columnas son linealmente dependientes; en caso contrario, se dice que son linealmente independientes.

Así pues, se llama rango de una matriz A, y se representa por Ran(A) al número de filas o columnas linealmente independientes. Para calcular el rango de una matriz se pueden aplicar distintos métodos, pero en este apartado vamos a ver el Método de Gauss, que consiste en triangularizar superiormente la matriz y el rango de la matriz es igual al número de filas distintas de cero.

Para triangularizar la matriz se pueden realizar las siguientes transformaciones:

1.- sustituir una fila o columna por el producto o cociente de ella misma por un número distinto de cero

2.- intercambiar dos filas o columnas entre sí

3.- sustituir una fila o columna por la combinación lineal de ella misma con otra fila

4.- eliminar las filas o columnas que sean iguales o proporcionales a otras

Por ejemplo: