PROPORCIONALIDAD. PORCENTAJES

Se llama razón al cociente entre dos números expresado en forma de fracción y proporción a una igualdad entre dos razones.

Proporcionalidad directa

Dos magnitudes son directamente proporcionales si las dos aumentan o disminuyen en la misma proporción, es decir, si, por ejemplo, duplicamos la primera magnitud la segunda también se duplica:

Las dos magnitudes están relacionadas por la constante de proporcionalidad directa, que se obtiene dividiendo los valores de ambas magnitudes:

Teniendo en cuenta lo anterior, para resolver problemas de proporcionalidad directa se aplica la Regla de Tres:

Proporcionalidad inversa

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si una aumenta y la otra disminuye en la misma proporción es decir, si, por ejemplo, una magnitud se duplica la otra se divide a la mitad:

Las dos magnitudes están relacionadas por la constante de proporcionalidad inversa, que se obtiene multiplicando los valores de ambas magnitudes:

Al igual que la proporcionalidad directa, los problemas de proporcionalidad inversa se resuelven aplicando la Regla de Tres, con la precaución de invertir la razón conocida al plantear las proporciones:

Proporcionalidad compuesta

Los problemas de proporcionalidad compuesta son aquellos en los que intervienen tres o más magnitudes proporcionales. Para resolver problemas de proporcionalidad compuesta se aplica la Regla de Tres Compuesta:

Porcentajes

El tanto por ciento de una cantidad es una o varias de las 100 partes iguales en las que se puede dividir dicha cantidad. El símbolo de tanto por ciento es %.
Por ejemplo decir el "15% de los alumnos suspende", significa que de cada 100 alumnos 15 suspenden.
El tanto por ciento de una cantidad se puede expresar de tres formas:

Los problemas de porcentajes son reglas de tres directas en las que relacionamos dos cantidades de una misma magnitud con los tantos por cientos referidos a dichas cantidades:

Dependiendo de lo que nos pregunten colocaremos los datos en su lugar correcto y después resolvemos como una Regla de Tres directa: multiplicamos en cruz y despejamos.

Aquí hay varios ejemplos:

PAREJAS DE PORCENTAJES (NIVEL 1): Con esta aplicación de Geogebra podrás jugar a emparejar porcentajes con su valor al mismo tiempo que te diviertes
CRUCIGRAMA NUMÉRICO: Con esta actividad de Hot Potatoes podrás resolver un crucigrama en el que aparecen conceptos numéricos aprendidos en clase

Aumentos y disminuciones porcentuales

Los aumentos (impuestos, subidas, etc.) y las disminuciones (rebajas, descuentos, etc.) porcentuales sobre una cantidad es lo que aumenta o disminuye dicha cantidad al aplicar un porcentaje.

A partir de aquí se hace igual que un ejercicio de porcentajes: se colocan los datos correctamente, se multiplica en cruz y se despeja.

Aquí hay varios ejemplos:

Los aumentos y disminuciones encadenados sobre una cantidad es lo que aumenta o dismunuye dicha cantidad al aplicar consecutivamente distintos aumentos o disminuciones.
Este tipo de ejercicios se hace de la misma forma que los anteriores, pero encadenando los precios de los artículos. Por ejemplo: Si queremos saber lo que tenemos que pagar por una chaqueta de 112 € a la que han hecho una rebaja del 20% pero después hay que pagar el 18% de IVA:

Interés simple y compuesto

Se llama interés a la cantidad de dinero que produce un capital depositado en una entidad financiera. Este dinero se obtiene al aplicar un determinado porcentaje sobre el capital invertido, llamado rédito (r)

El interés es simple cuando el dinero obtenido NO se acumula al capital para generar nuevos intereses. Por lo tanto, la cantidad de dinero obtenida al cabo del tiempo será:

Año	Capital Inicial	Capital Final
1	CI	CI+ CI · r = CI (1 + r)
2	CI	CI (1 + r) + CI · r = CI (1 + 2r)
3	CI	CI (1 + 2r) + CI · r = CI (1 + 3r)
...	...	...
t	CI	CF = CI (1 + t · r)

Por ejemplo: si queremos saber el capital que tendremos si depositamos 750 € a un interés simple del 3% durante 4 años:

CF = 750 · (1+ 4 · 0´03) = 840 €

El interés es compuesto cuando el dinero obtenido SÍ se acumula al capital para generar nuevos intereses. Por lo tanto, la cantidad de dinero obtenida al cabo del tiempo será:

Año	Capital Inicial	Capital Final
1	CI	CI + CI · r = CI (1 + r)
2	CI (1 + r)	CI (1 + r) + CI (1 + r) · r = CI (r2 + 2r + 1) = CI (1 + r)2
3	CI (1 + r)2	CI (1 + r)2 + CI (1 + r)2 · r = CI (1 + r)3
...	...	...
t	CI (1 + r)(t-1)	CF = CI (1 + r)t

Por ejemplo: si queremos saber el capital que tendremos si depositamos 750 € a un interés compuesto del 3% durante 4 años:

CF = 750 · (1 + 0´03)4 = 844´13 €

Repartos proporcionales

Para repartir una cantidad N en partes directamente proporcionales a otras cantidades conocidas a, b, c, ... se procede de la siguiente forma:

1) Se divide la cantidad a repartir (N) entre la suma de las cantidades respecto de las que se reparte (a + b + c + ...)

2) Para saber lo que le corresponde a cada uno se multiplica el número obtenido por cada una de las cantidades a repartir

Por ejemplo: si queremos repartir 4200 € en partes directamente proporcionales a 3, 5 y 6:

1) 4200 : (3+5+6) = 300

2) Al 3 le corresponde 3 · 300 = 900; al 5 le corresponde 5 · 300 = 1500; al 6 le corresponde 6 · 300 = 1800

Para repartir una cantidad (N) en partes inversamente proporcionales a otras cantidades conocidas a, b, c, ... se procede de la siguiente forma:

1) Se divide la cantidad a repartir (N) entre la suma de las inversas de las cantidades respecto de las que se reparte (1/a + 1/b + 1/c + ...)

2) Para saber lo que le corresponde a cada uno se multiplica el número obtenido por las inversas de las cantidades a repartir

Por ejemplo: si queremos repartir 4200 € en partes inversamente porporcionales a 3, 5 y 6:

1) 4200 : (1/3 + 1/5 + 1/6) = 4200 : (10/30 + 6/30 + 5/30) = 4200 : (21/30) = 6000

2)Al 3 le corresponde 6000 · (1/3) = 2000; al 5 le corresponde 6000 · (1/5) = 1200; al 6 le corresponde 6000 · (1/6) = 1000